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线性代数配方法的技巧

说实话 这个只是一种方法 我也看了教材 也看了讲义 确实没有列出具体的步骤 但是我感觉 要是再考试中发现类似的考题 我们可以用一下 当做技巧 但是要是发现考试的题目让自己混乱的话 就不要用了 就用一般步骤 而且 我看了几年的考题 发现 关于二次型的题目 基本上把二次型的矩阵求出以后 然后求特征向量 有时候特征值都不一样 那么特征向量就不用施密特正交化 因为是实对称阵对角化 在特征是都不相同的情况下 求出的特征向量本来就是两两相交的 那肯定是正交的 就算有重复的特征向量 用正交化 也是很简单的 里面数都不复杂 以上我是个人见解 勿板砖

z3=x3, 从而二次型的标准形为2(z1)^2-2(z2)^2+14(z3)^2f(x1,x2,x3)=2(x2+x1+x3)^2-2(x1+2x3)^2+2(x3)^2-4x1x3 =2(x2+x1+x3)^2-2(x1)^2-12x1x3-4(x3)^2 =2(x2+x1+x3)^2-2(x1+3x3)^2+14(x3)^2 令z1=x2+x1+x3, z2=x1+3x3, 进而规范形为(y1)^2+(y2)^2-(y3)^2

f = 4(x1)^2+4(x2)^2+4(x3)^2+4x1x2+4x1x3+4x2x3第一步 : 将含 x1 的项配成完全平方f = [4(x1)^2+4x1x2+4x1x3] + 4(x2)^2+4(x3)^2+4x2x3 = 4(x1+x2/2+x3/2)^2-(x2)^2-(x3)^2-2x2x3 + 4(x2)^2+4(x3)^2+4x2x3 = 4(x1+x2/2+x3/2)^2 + 3(x2)^2+3(x3)^2+2x

这样:把含a的放在一起 如 a^2+2ab-3ac+4ad 凑成 (a + b - (3/2)c + 2d)^2 -- 注意除a^2外 系数除2= a^2+2ab-3ac+4ad -- 这样可凑出所需的项 -- 减去多出的平方项- b^2 - (3/2)^2c^2 - 4d^2 -- 多退少补其余项+ 3bc -2bd + 6cd

当没有平方项时, 凑出平方项就可以了因为有 x1x2 项, 所以令 x1=y1+y2 ,x2=y1-y2 ,x3=y3, x4=y4,则 f = (y1+y2)(y1-y2)+(y1-y2)y3+y3y4+(y1+y2)y4= y1^2 - y2^2 + y1*y3 + y1*y4 - y2*y3 + y2*y4 + y3*y4 = (y1+(1/2)y3+(1/2)y4)^2 - y2^2 - (1/4)y3^2 - (1/4)y4^2 - y2*y3 + y2*y4 + (1/2)y3*y4 = 之后的方法就自然了

首先我不是很建议这种方法.这个叫做配方法,其实就是通过对式子结构的一些观察而变换的.这个方法有比较固定的套路:存在单变量二次项,则利用单变量的二次项和混乘来先因式分解再凑项.如果全部是混乘,那么固定其中一个变量不变,其余变量写成平方差形式.有了这两个技巧一切二次型都可以配出来.有些二次型带有平方项但是配到中途只有混乘了,同样可以采取刚才那个办法.这个记住就行,所有混乘都是这么写的

一、配方的方法1、若二次型中不含有平方项则先凑出平方项 方法:令x1=y1+y2,x2=y1-y2, 则 x1x2 = y1^2-y2^22、若二次型中含有平方项x1 方法:则将含x1的所有项放入一个平方项里, 多退少补,将二次型中所有的x1处理好,接着处x2,以此

2、一般的配方法得到的线性变换 都不可逆 这题最好用正交变换 求出二次型对应的矩阵 依次求出特征值和特征向量 单位正交化得到变换矩阵 过程如下:

f = 5[(x1)^2+(14/5)x1x2+(4/5)x1x3] + 5(x2)^2 - 4(x3)^2 - 4x2x3= 5[x1+(7/5)x2+(2/5)x3]^2 - (24/5)(x2)^2 - (36/5)(x3)^2 - 4x2x3= 5[x1+(7/5)x2+(2/5)x3]^2 - (24/5)[x2+(5/12)x3]^2 - (191/30)(x3)^2= 5(y1)^2 - (24/5)(y2)^2 - (191/30)(y3)^2

一般不用配方法 ,B=P^(-1)AP

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