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求矩阵的秩

通过初等行变换(就是一行的多少倍加的另一行,或行交换,或者某一行乘以一个非零倍数)把矩阵化成行阶梯型(行阶梯形就是任一行从左数第一个非零数的列序数都比上一行的大,形象的说就是形成一个阶梯,).这样数一下非零行(零行就是全是零的行,非零行就是不全为零的行)的个数就是秩.例如:1 2 3 41 3 4 52 4 5 6 第一行乘以负一加的第二行得1 2 3 40 1 1 12 4 5 6 再把第一行乘负二加到第三行得1 2 3 40 1 1 10 0 -1 -2 现在就满足行阶梯形了因为非零行有3行 所以秩为3

矩阵的秩反映了矩阵的固有特性一个重要的概念.定义1.并购急; n矩阵A,任意k决定行k列(1磅; K&磅;分{M,N})上的k阶的宪法元素路口子矩阵,此子矩阵行列式,称为k-阶子式A.一个二阶子 例如,行阶梯形式,并且所选择的行和列3 4,3,在它们由两个子矩阵行列式中的元素的交点是矩阵样式的顺序.分型的最大数量的排列顺序是不为零 定义2.A =(AIJ)m*n个被称为矩阵A ,记为RA,或烂柯山.特别规定均居零矩阵是为零.显然rA≤min(米,n)的易得:如果A具有至少一个的r次分型是不等于零,并在r中

根据矩阵A的秩的定义求秩,找 A 中不等于 0 的子式的最高阶数.一般当行数与列数都较高时,按定义求秩是很麻烦的.对于行阶梯形矩阵,显然它的秩就等于非零行的行数.因为两个等价的矩阵的秩相等,也可以用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩阵.矩阵经初等变换后其秩不变,因而把矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数即为所求矩阵的秩.这是求矩阵秩的一种常用方法.

矩阵知秩的求法很多,一般归结起来有以下几种:1)通过对矩阵做初等变换(包括行变换以及列变换)化简为梯形矩阵求秩.此类求解一般适用于矩阵阶数不是很大的情况,可以精确确定矩阵的秩,而且求解快速比较容易掌握.2)通过矩阵的

1. 求向量组的秩的方法:将向量组按列向量构造矩阵(a1,,as) 对此矩阵用初等行变换(列变换也可用)化为梯矩阵 非零行数即向量组的秩.2. 求矩阵的秩 对矩阵实施初等行变换化为梯矩阵 非零行数即矩阵的秩.3. 二次型的秩即二次型的矩阵的秩

第二行乘以3加上第一行,第三行乘以3加上第一行:-3 1 10 -8 40 4 10第三行乘以2加上第二行-3 1 10 -8 40 0 24非零行数是3 ,所以秩为3

用初等行变换化成梯矩阵,梯矩阵中非零行数就是矩阵的秩.可以同时用初等列变换,但行变换足已,有时可能用到一个结论:若a中有非零的r阶子式, 则 r(a)>=r;若a的所有r+1阶子式(若存在)都是0,则r(a)

用初等行变换求矩阵的秩 0 1 3 -2 2 2 -1 1 4 5 1 0 r3-2r2 ,交换r1,r2 ~ 2 2 -1 1 0 1 3 -2 0 1 3 -2 r3-r2,r1-2r2 ~ 2 0 -7 4 0 1 3 -2 0 0 0 0 显然矩阵的秩为 2

矩阵的秩一般有2种方式定义1. 用向量组的秩定义 矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩2. 用非零子式定义 矩阵的秩等于矩阵的最高阶非零子式的阶 单纯计算矩阵的秩时, 可用初等行变换把矩阵化成梯形 梯矩阵中非零行数就是矩阵的秩

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